Les fonctions polynômes du second degré - Partie 2

Cet article s'adresse prioritairement aux élèves en classe de première, suivant la spécialité mathématiques. Il est consacré à l'étude des polynômes du second degré qui fournissent une gamme d'outils mathématiques indispensables à l'étude des fonctions.

Dans cette partie 2, on complète l'étude desdits polynômes que nous avons débuté dans la partie 1 de l'article.

• Dans la partie 1, nous avons présenté les différentes écritures d'un polynôme du second degré (forme développée et réduite ; forme canonique et forme factorisée) et montré comment on passe d'une forme à l'autre.

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On a introduit la notion de racine d'un polynôme (rappelons au passage que les racines d'un polynôme P sont les solutions de l'équation P(x)=0) et de discriminant d'un polynôme du second degré. On a énoncé le théorème donnant les racines (théorème fondamental N°1) et celui donnant le signe (théorème fondamental N°2) d'un polynôme du second degré. Les principaux résultats donnés dans la partie 1 sont les deux théorèmes fondamentaux suivants :

NOTE : Ce théorème permet de calculer très facilement les racines d'un polynôme du second degré et d'établir une factorisation de celui-ci.

NOTE : Ce théorème permet d'établir le tableau de signe d'un polynôme du second degré et en particulier, de résoudre les inéquations du second degré.

• Dans cette partie 2, on s'intéresse au sens de variation et à la représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré. Nous énonçons un théorème qui donne le sens de variation d'une fonction polynôme du second degré et montrons comment on trace une parabole (courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré). Elle se termine par une série d'exercices d'entraînement que je recommande vivement aux élèves.

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On commence par un exercice :

POINT N°3 : Représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré

NOTE : Ce théorème permet d'établir le tableau de variation d'une fonction polynôme du second degré et en particulier, de déterminer le maximum ou le minimum d'une telle fonction. Il suffit pour cela, de mettre la fonction sous la forme canonique.

QUELQUES REMARQUES ET CONSEILS

Dans cet article, on a introduit le discriminant qui permet de calculer explicitement les racines d'un polynôme du second degré ; c'est-à-dire de résoudre les équations du second degré. Le théorème fondamental N°1 donne explicitement les formules permettant de calculer directement les racines. Bien que ce théorème soit très pratique, n'oublions pas qu'il découle de la forme canonique et parfois il est plus rapide d'utiliser directement la forme canonique pour obtenir les racines ou pour établir une factorisation.

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L'élève doit s'assurer d'être capable de mener à bien les tâches suivantes :

• Mettre un polynôme du second degré sous la forme canonique.
• Déterminer les racines d'un polynôme du second degré en utilisant le discriminant.
• Dresser le tableau de signe d'un polynôme du second degré.

Pour ce qui est de la méthode de travail je conseille aux élèves de bien comprendre et apprendre les théorèmes fondamentaux énoncés dans cet article puis de travailler sur les exercices corrigés intitulés "APPLICATION" qui les illustrent afin d'acquérir les bons réflexes et les différentes méthodes employées dans le chapitre. Les différentes méthodes sont mises en œuvre dans ces exercices.

Une fois ce travail effectué, je recommande vivement de faire les exercices d'entraînement proposés à la fin de l'article. Ceux-ci ne sont pas corrigés, mais je reste très attentif à toute remarque ou question qu'ils pourraient soulever.

J'espère que cet article aidera les élèves à comprendre et à maîtriser les éléments clés sur fonctions polynômes du second degré.