Quel est la logique à avoir pour résoudre l’exercice ?

Bonjour Lullabie FRAISE, J'imagine que dans l'énoncé le terme "poids" est abusivement utilisé à la place de la masse et que finalement W désigne plutôt la masse de la fourmi. Dans ce cas, en notant p la masse volumique (commune à toutes les fourmis par hypothèse selon l'énoncé), on a alors : p = W / V et par conséquent W = p x V (cela prouve que le volume V de la fourmi est proportionnel à sa masse W car p est une constante). * Question a : Si on multiplie les dimensions d'une fourmi par un coefficient k > 0, il est classique que son volume V soit multiplié par k^3 = k x k x k (k au cube). JUSTIFICATION : Si la fourmi est assimilée à un cylindre de rayon R et donc de hauteur L (longueur de la fourmi), alors on a classiquement : V = pi x L x R^2 (où R^2 désigne le carré du rayon R). Si les dimensions L et R sont multipliées par k > 0 alors les nouvelles dimensions deviennent respectivement : L' = k x L et R' = k x R. On en déduit que le nouveau volume de la fourmi est : V' = pi x L' x R'^2 = pi x (k x L) x (k x R)^2. Or d'après les règles classiques des puissances, on a : (k x R)^2 = k^2 x R^2. Il vient alors : V' = pi x (k x L) x (k x R)^2 = pi x k x L x k^2 x R^2 ; ce qui donne par groupement de termes : V' = (k x k^2) x (pi x L x R^2) ; c'est-à-dire V' = V x k^3 ; ce qui prouve bien que le volume est multiplié par k^3. * Question b : Observons tout d'abord que si deux fourmis ont la même longueur L alors l'hypothèse H, de proportionnalité de leur dimensions assure que le coefficient de proportionnalité est nécessairement K = L / L =1. On en déduit que les deux fourmis ont alors les mêmes dimensions et donc le même volume V(L) et par conséquent le même poids W(L) car W(L) = p x V(L). On voit alors que sous l'hypothèse H, le volume et le poids d'une fourmi ne dépend que de sa longueur L. Considérons enfin une fourmi de longueur 1 et donc de volume V(1), de poids W(1) et une fourmi de longueur L et donc de volume V(L), de poids W(L). Leurs dimensions sont proportionnelles par hypothèse. Comme L = L x 1, le coefficient de proportionnalité est alors k = L et plus exactement, les dimensions de la fourmi de longueur L s'obtiennent en multipliant celles de la fourmi de longueur 1 par k = L. D'après le résultat de la question précédente on a alors : V(L) = (L^3) x V(1) et on en déduit très vite que : W(L) = p x V(L) = p x (L^3) x V(1) = (L^3) x [p x V(1)] = (L^3) x W(1). D'où le résultat demandé ! * Question c : C'est immédiat car sous l'hypothèse H, on vient de montrer que : W(L) = (L^3) x W(1) et on en déduit vite par passage à la puissance 1/3 (racine cubique) que : [W(L) ]^(1/3)= [(L^3) x W(1)]^(1/3) = [(L^3)^(1/3)] x [W(1)]^(1/3). Or (L^3)^(1/3) = L^(3 x 1/3) = L^1 = L et il vient alors : [W(L) ]^(1/3) = [(L^3) x W(1)]^(1/3) = L x [W(1)]^(1/3). En posant [W(1)]^(1/3 = K (constante), on a alors : [W(L) ]^(1/3) = L x K ; ce qu'on peut aussi écrire : [W^(1/3) ](L)= K x L et prouve alors que W^(1/3) est proportionne à L. Voilà Lullabie FRAISSE, j'espère que je n'ai pas été trop technique dans ma proposition de solution. Si c'est le cas, ou si quelque chose n'est pas claire, n'hésitez pas à me le dire. Je vous souhaite à tous une bonne soirée et une merveilleuse année 2024.